向量相似度如何计算？

核心回答

向量相似度是按选定的度量，对查询向量与候选向量打分，再按分数取最接近的结果。文本检索中常见三种：余弦相似度看方向，内积同时受方向和长度影响，欧氏距离看空间中的直线距离。

余弦和内积通常越大越相似，欧氏距离越小越接近。选择时要看Embedding模型的训练方式和推荐度量，并让入库处理、索引和查询保持匹配；不同度量不一定得到同一排序。若两边都是单位向量，余弦与内积相等，平方欧氏距离又等于 2 - 2 × 内积，三者在精确比较同一组候选时给出等价排序。

三种常用度量怎样计算

设两个非空同维向量为 x、y，下标 i 遍历各个维度，向量长度记为 ||x|| = sqrt(Σ x_i²)。

内积：dot(x,y) = Σ x_i × y_i。 对应维度相乘后相加。它不仅反映方向，也受向量模长影响。对于固定查询，候选向量长度不同可能改变排名；内积不必限制在 [-1,1]，也不是概率。

余弦：cos(x,y) = dot(x,y) / (||x|| × ||y||)。 在两个向量都非零时，去掉长度因素，只比较方向，范围为 [-1,1]。1表示同方向，0表示正交，-1表示反方向；这些首先是几何关系，不能直接把0解释成文本毫无语义关系，或把1当作事实完全相同。零向量的余弦没有这个数学定义，应由输入校验或明确的库约定处理。

欧氏距离：L2(x,y) = sqrt(Σ (x_i-y_i)²)。 衡量两点间直线距离，越小越接近。有的检索库返回平方距离，不开平方仍保持相同排序，但分数数值不同。例如Faiss的 METRIC_L2 返回平方L2，阈值也要按这个含义设置。

一个例子说明排序为什么会不同

取查询 q=(1,0)，两个候选 a=(1,1)、b=(3,4)：

• 内积：q·a=1，q·b=3，因此b排名更靠前。
• 余弦：cos(q,a)=1/√2≈0.7071，cos(q,b)=3/5=0.6，因此a排名更靠前。
• 欧氏距离：到a为1，到b为 √20≈4.4721，因此a更接近。

b的模长较大，原始内积更高；a与查询的方向更接近。这个例子展示度量差异，实际文本是否相关还取决于模型如何学习这个向量空间。

为什么归一化以后可以互相转换

把非零向量分别除以自己的模长，得到单位向量。此时分母都是1，因此余弦就等于内积。再展开平方距离：

||x-y||² = ||x||² + ||y||² - 2(x·y) = 2 - 2(x·y)。

所以最大化余弦、最大化内积与最小化平方L2得到相同的精确排名。这里要求候选也已归一化；只处理查询，并不能消除不同候选的模长差异。采用近似索引后，实际候选搜索路径还会影响召回，数学上的度量等价不意味着不同索引配置总返回完全相同的结果。

是否归一化要按模型设计选择。某些内积模型会利用模长表达信息，额外归一化会改变它原来的评分；不能为了套用余弦公式就一律预处理。

在RAG中怎样正确使用

先确认查询与文档向量来自可比较的Embedding空间，维度和模型配套方式正确。有些模型分别规定查询前缀、文档前缀或不同编码分支，不能只看维数相同就混用。

再核对接口返回的是相似度、距离、平方距离还是负距离，以及排序方向。例如一些接口用负欧氏距离作为“越大越好”的分数。检索阈值要在本模型、本数据和本度量上校准，不能把另一个系统的0.8直接复制过来。

最后用已标注问题检查相关片段能否进入候选。相似度计算与HNSW等索引搜索是两个层次：前者定义怎样比较，后者减少需要比较的候选；重排还可以进一步结合查询与片段内容判断相关性。

常见追问

余弦0.8代表有80%的概率相关吗？

不代表。它是向量夹角的函数，不是经过校准的相关概率。是否足以支持回答，要结合模型、问题类型和实际证据判断。

除了这三种，还有哪些？

还有曼哈顿距离、用于二进制表示的汉明距离等。它们适用的数据表示和检索目的不同；对稠密文本向量，应先遵循模型推荐方式，再用任务数据验证。

对应教程

参考资料